Решение матричной игры в смешанных стратегиях

Педагогика и воспитание » Теория игр » Решение матричной игры в смешанных стратегиях

Страница 1

Если платежная матрица не имеет седловой точки, т.е. a <b и , то поиск решения игры приводит к применению сложной стратегии, состоящей в случайном применении двух и более стратегий с определенными частотами.

Определение 1. Сложная стратегия, состоящая в случайном применении всех стратегий с определенными частотами, называется смешанной.

В игре, матрица которой имеет размерность m ´ n, стратегии первого игрока задаются наборами вероятностей (x1, x2, ., xm), с которыми игрок применяет свои чистые стратегии. Эти наборы можно рассмотреть как m-мерные векторы, для координат которых выполняются условия

, xi ³ 0, .

Аналогично для второго игрока наборы вероятностей определяют n-мерные векторы (y1, y2, ., yn), для координат которых выполняются условия

= 1, yj ³ 0, .

Выигрыш первого игрока при использовании смешанных стратегий определяют как математическое ожидание выигрыша, т.е. он равен

.

Теорема 1. (Неймана. Основная теорема теории игр) Каждая конечная игра имеет, по крайней мере, одно решение, возможно, в области смешанных стратегий. Применение оптимальной стратегии позволяет получить выигрыш, равный цене игры: a £ v £ b. Применение первым игроком оптимальной стратегии опт должно обеспечить ему при любых действиях второго игрока выигрыш не меньше цены игры. Поэтому выполняется соотношение

, .

Аналогично для второго игрока оптимальная стратегия опт должна обеспечить при любых стратегиях первого игрока проигрыш, не превышающий цену игры, т.е. справедливо соотношение

, .

Если платежная матрица не содержит седловой точки, то задача определения смешанной стратегии тем сложнее, чем больше размерность матрицы. Поэтому матрицы большой размерности целесообразно упростить, уменьшив их размерность путем вычеркивания дублирующих (одинаковых) и не доминирующих стратегий.

Определение 2. Дублирующими называются стратегии, у которых соответствующие элементы платежной матрицы одинаковы.

Определение 3. Если все элементы i-й строки платежной матрицы больше соответствующих элементов k-й строки, то i-я стратегия игрока А называется доминирующей над k-й стратегией. Если все элементы j-го столбца платежной матрицы меньше соответствующих элементов k-го столбца, то j-я стратегия игрока В называется доминирующей над k-й стратегией.

Пример. Рассмотрим игру, представленную платежной матрицей

.

Страницы: 1 2

Похожие статьи:

Семья и ее социальные функции
Семья, с позиции социологов, представляет собой малую социальную группу, основанную на брачном союзе и кровном родстве, члены которой связана общностью быта, взаимной помощью, моральной ответственностью. Этот древнейший институт человеческого общества прошел сложный путь развития: от родоплеменных ...

Контроль и оценка скоростных способностей у младших школьников
Л.П. Матвеев утверждает, что несмотря на то, что понятие «контроль» представляется вполне ясным (проверка, обследование, наблюдение, оценка и т.п.) в конкретном истолковании, в частности при характеристике контроля в процессе физического воспитания, это понятие трактуется далеко не однозначно. Долг ...

Подходы к классификации педагогических тестов
Что касается классификации тестов, то анализ зарубежной и отечественной литературы показывает, что существуют несколько подходов к этой проблеме. Во-первых, педагогические тесты классифицируются по методологии интерпретации результатов тестирования на нормативно-ориентированные и критериально-ориен ...

Главное меню

Copyright © 2020 - All Rights Reserved - www.bravoschool.ru