Решение матричной игры в чистых стратегиях

Аналогично определяется наилучшая стратегия второго игрока. Игрок В при выборе стратегии Вj, в худшем случае получит проигрыш . Он выбирает стратегию Bjопт, при которой его проигрыш будет минимальным и составит

.

Определение 3. Величина b - гарантированный проигрыш игрока В называется верхней ценой игры. Стратегия Bjопт, обеспечивающая получение проигрыша b, называется минимаксной.

Если второй игрок будет придерживаться своей минимаксной стратегии, то у него есть гарантия, что он в любом случае проиграет не больше b.

Фактический выигрыш игрока А (проигрыш игрока В) при разумных действиях партнеров ограничен верхней и нижней ценой игры. Для матричной игры справедливо неравенство a £ b.

Определение 4. Если a = b =v, т.е.

=,

то выигрыш игрока А (проигрыш игрока В) определяется числом v. Оно называется ценой игры.

Определение 5. Если a = b =v, то такая игра называется игрой с седловой точкой, элемент матрицы аiопт jопт = v, соответствующий паре оптимальных стратегий (Aiопт, Bjопт), называется седловой точкой матрицы. Этот элемент является ценой игры.

Седловой точке соответствуют оптимальные стратегии игроков. Их совокупность - решение игры, которое обладает свойством: если один из игроков придерживается оптимальной стратегии, то второму отклонение от своей оптимальной стратегии не может быть выгодным.

Определение 6. Если игра имеет седловую точку, то говорят, что она решается в чистых стратегиях.

Найдем решение игры рассмотренного выше примера:

,

a = a3 - нижняя цена игры.

,

b = b3 - верхняя цена игры.

Так как a = b = 0, матрица игры имеет седловую точку.

Оптимальная стратегия первого игрока - А3, второго - B3. Из таблицы видно, что отклонение первого игрока от оптимальной стратегии уменьшает его выигрыш, а отклонение второго игрока от В3 увеличивает его проигрыш.

Наличие седловой точки в игре - это далеко не правило, скорее, исключение. Существует разновидность игр, которые всегда имеют седловую точку и, значит, решаются в чистых стратегиях. Это так называемые игры с полной информацией.

Определение 7. Игрой с полной информацией называется такая игра, в которой каждый игрок при каждом личном ходе знает всю предысторию ее развития, т.е. результаты всех предыдущих ходов.

Примерами игр с полной информацией могут служить шашки, шахматы, "крестики-нолики" и т.д.

Теорема 1. Каждая игра с полной информацией имеет седловую точку и, значит, имеет решение в чистых стратегиях.

В каждой игре с полной информацией существует пара оптимальных стратегий, дающая устойчивый выигрыш, равный цене игры v. Если решение игры известно, сама игра теряет смысл. Например, шахматная игра либо кончается выигрышем белых, либо выигрышем черных, либо ничьей, только чем именно - мы пока не знаем (к счастью для любителей шахмат). Прибавим еще: вряд ли будем знать в обозримом будущем, так как число стратегий так велико, что крайне трудно привести шахматную игру к матричной форме и найти в ней седловую точку. Указать откуда это взялось, т.е. указать ссылки

Похожие статьи:

Характеристика социальной ситуации, связанной с распространением наркотической зависимости среди старших подростков
Массовое изучение образа жизни старших подростков, проводимое в 2001 г. в различных городах России показало, что 12% респондентов в возрасте до 16 лет однократно пробовали наркотические вещества (с учетом токсических веществ этот показатель возрастает до 18,9%), а около 0,9% принимают их регулярно. ...

Психология формирования письменной речи у детей
До 5-6 лет единственной доступной детям графической формой передачи сообщений является рисунок. А. Р. Лурия (1969) в своем исследовании, посвященном генезису письма у ребенка, показал, что овладение графическим знаком проходит у детей два этапа: А) условно-подражательной записи (каракули, лишь внеш ...

Возрастные особенности младшего школьника
Учащиеся начальных классов, то есть дети младшего школьного возраста, очень сильно отличаются друг от друга по успехам в учении - сосредоточенные и отвлекающиеся, быстросхватывающие и тугодумы. Они собрались из самых разных семей - более развитые и менее развитые, воспитанные и диковатые, заласканн ...