Аналогично определяется наилучшая стратегия второго игрока. Игрок В при выборе стратегии Вj, в худшем случае получит проигрыш
. Он выбирает стратегию Bjопт, при которой его проигрыш будет минимальным и составит
.
Определение 3. Величина b - гарантированный проигрыш игрока В называется верхней ценой игры. Стратегия Bjопт, обеспечивающая получение проигрыша b, называется минимаксной.
Если второй игрок будет придерживаться своей минимаксной стратегии, то у него есть гарантия, что он в любом случае проиграет не больше b.
Фактический выигрыш игрока А (проигрыш игрока В) при разумных действиях партнеров ограничен верхней и нижней ценой игры. Для матричной игры справедливо неравенство a £ b.
Определение 4. Если a = b =v, т.е.
=
,
то выигрыш игрока А (проигрыш игрока В) определяется числом v. Оно называется ценой игры.
Определение 5. Если a = b =v, то такая игра называется игрой с седловой точкой, элемент матрицы аiопт jопт = v, соответствующий паре оптимальных стратегий (Aiопт, Bjопт), называется седловой точкой матрицы. Этот элемент является ценой игры.
Седловой точке соответствуют оптимальные стратегии игроков. Их совокупность - решение игры, которое обладает свойством: если один из игроков придерживается оптимальной стратегии, то второму отклонение от своей оптимальной стратегии не может быть выгодным.
Определение 6. Если игра имеет седловую точку, то говорят, что она решается в чистых стратегиях.
Найдем решение игры рассмотренного выше примера:
,
a = a3 - нижняя цена игры.
,
b = b3 - верхняя цена игры.
Так как a = b = 0, матрица игры имеет седловую точку.
Оптимальная стратегия первого игрока - А3, второго - B3. Из таблицы видно, что отклонение первого игрока от оптимальной стратегии уменьшает его выигрыш, а отклонение второго игрока от В3 увеличивает его проигрыш.
Наличие седловой точки в игре - это далеко не правило, скорее, исключение. Существует разновидность игр, которые всегда имеют седловую точку и, значит, решаются в чистых стратегиях. Это так называемые игры с полной информацией.
Определение 7. Игрой с полной информацией называется такая игра, в которой каждый игрок при каждом личном ходе знает всю предысторию ее развития, т.е. результаты всех предыдущих ходов.
Примерами игр с полной информацией могут служить шашки, шахматы, "крестики-нолики" и т.д.
Теорема 1. Каждая игра с полной информацией имеет седловую точку и, значит, имеет решение в чистых стратегиях.
В каждой игре с полной информацией существует пара оптимальных стратегий, дающая устойчивый выигрыш, равный цене игры v. Если решение игры известно, сама игра теряет смысл. Например, шахматная игра либо кончается выигрышем белых, либо выигрышем черных, либо ничьей, только чем именно - мы пока не знаем (к счастью для любителей шахмат). Прибавим еще: вряд ли будем знать в обозримом будущем, так как число стратегий так велико, что крайне трудно привести шахматную игру к матричной форме и найти в ней седловую точку. Указать откуда это взялось, т.е. указать ссылки
Похожие статьи:
Основные понятия гуманизации образования и принципиальные характеристики
содержания гуманитарной подготовки
Казахстанское общество находится на переломном этапе своего развития. Он характеризуется переоценкой ценностей, критикой и преодолением того, что мешает дальнейшему движению вперед. Высшим гуманистическим смыслом социального развития становится утверждение отношения к человеку как высшей ценности б ...
Ориентировка в пространстве
Способностью к ориентированию в пространстве понимают умение точно определять и своевременно изменять положение тела и осуществлять движение в нужном направлении. Эту способность человек проявляет в соответствующих условиях какой-либо конкретной деятельности (на площадке для игры в волейбол, теннис ...
Анализ деятельности социального педагога МОУ СОШ №
103 по первичной профилактике наркотической зависимости у старших подростков
Средняя общеобразовательная школа № 103 расположена на окраине микрорайона Уралмаш, в непосредственной близости от всемирно известного завода "Уралмаш" (УЗТМ). Являясь важным стратегическим объектом государственного значения, огромным промышленным центром с богатой историей и субкультурой ...