Решение матричной игры в чистых стратегиях

Аналогично определяется наилучшая стратегия второго игрока. Игрок В при выборе стратегии Вj, в худшем случае получит проигрыш . Он выбирает стратегию Bjопт, при которой его проигрыш будет минимальным и составит

.

Определение 3. Величина b - гарантированный проигрыш игрока В называется верхней ценой игры. Стратегия Bjопт, обеспечивающая получение проигрыша b, называется минимаксной.

Если второй игрок будет придерживаться своей минимаксной стратегии, то у него есть гарантия, что он в любом случае проиграет не больше b.

Фактический выигрыш игрока А (проигрыш игрока В) при разумных действиях партнеров ограничен верхней и нижней ценой игры. Для матричной игры справедливо неравенство a £ b.

Определение 4. Если a = b =v, т.е.

=,

то выигрыш игрока А (проигрыш игрока В) определяется числом v. Оно называется ценой игры.

Определение 5. Если a = b =v, то такая игра называется игрой с седловой точкой, элемент матрицы аiопт jопт = v, соответствующий паре оптимальных стратегий (Aiопт, Bjопт), называется седловой точкой матрицы. Этот элемент является ценой игры.

Седловой точке соответствуют оптимальные стратегии игроков. Их совокупность - решение игры, которое обладает свойством: если один из игроков придерживается оптимальной стратегии, то второму отклонение от своей оптимальной стратегии не может быть выгодным.

Определение 6. Если игра имеет седловую точку, то говорят, что она решается в чистых стратегиях.

Найдем решение игры рассмотренного выше примера:

,

a = a3 - нижняя цена игры.

,

b = b3 - верхняя цена игры.

Так как a = b = 0, матрица игры имеет седловую точку.

Оптимальная стратегия первого игрока - А3, второго - B3. Из таблицы видно, что отклонение первого игрока от оптимальной стратегии уменьшает его выигрыш, а отклонение второго игрока от В3 увеличивает его проигрыш.

Наличие седловой точки в игре - это далеко не правило, скорее, исключение. Существует разновидность игр, которые всегда имеют седловую точку и, значит, решаются в чистых стратегиях. Это так называемые игры с полной информацией.

Определение 7. Игрой с полной информацией называется такая игра, в которой каждый игрок при каждом личном ходе знает всю предысторию ее развития, т.е. результаты всех предыдущих ходов.

Примерами игр с полной информацией могут служить шашки, шахматы, "крестики-нолики" и т.д.

Теорема 1. Каждая игра с полной информацией имеет седловую точку и, значит, имеет решение в чистых стратегиях.

В каждой игре с полной информацией существует пара оптимальных стратегий, дающая устойчивый выигрыш, равный цене игры v. Если решение игры известно, сама игра теряет смысл. Например, шахматная игра либо кончается выигрышем белых, либо выигрышем черных, либо ничьей, только чем именно - мы пока не знаем (к счастью для любителей шахмат). Прибавим еще: вряд ли будем знать в обозримом будущем, так как число стратегий так велико, что крайне трудно привести шахматную игру к матричной форме и найти в ней седловую точку. Указать откуда это взялось, т.е. указать ссылки

Похожие статьи:

Понятие и классификация межпредметных связей в содержании обучения биологии и математики
В последние годы возросла роль межпредметных связей, реализуемых учителями разных предметов на уроке и во внеурочной работе. Усилению внимания к проблеме межпредметных связей способствовало включение в новые учебные программы для одиннадцатилетней школы по основным предметам специального раздела &q ...

Методические рекомендации по проведению недели географии «Памяти знаменитого полярника – Г.Я. Седова»
Неделя географии в школе является комплексным мероприятием, сочетающим в себе разнообразные формы внеурочной работы: вечера, конференции, смотры-конкурсы географических знаний, конкурсы газет, рефератов и т.д. Поэтому подготовка и проведение предметных недель требуют больших временных, ресурсных и ...

Типы способностей, психические процессы, влияющие на формирование творческих способностей
К общим способностям относятся необходимые для всякой деятельности: наблюдательность, воображение, хорошая память и т.д. Эти качества необходимы для учебной работы и для овладения различными видами труда. В зависимости от преобладания тех или иных общих особенностей, школьников подразделяют на 3 ти ...