Сведение матричной игры к задаче линейного программирования

Теория игр находится в тесной связи с линейным программированием, так как каждая конечная игра двух лиц с нулевой суммой может быть представлена как задача линейного программирования и решена симплексным методом и, наоборот, каждая задача линейного программирования может быть представлена как конечная игра двух лиц с нулевой суммой. Рассмотрим игру двух лиц с нулевой суммой, заданную платежной матрицей

.

Если платежная матрица не имеет седловой точки, т.е. a <b и , то решение игры представлено в смешанных стратегиях (x1, x2, ., xm) и (y1, y2, ., yn). Применение первым игроком оптимальной стратегии опт должно обеспечить ему при любых действиях второго игрока выигрыш не меньше цены игры.

, .

Рассмотрим задачу отыскания оптимальной стратегии игрока А, для которой имеют место ограничения

Величина v неизвестна, однако можно считать, что цена игры v > 0. Последнее условие выполняется всегда, если все элементы платежной матрицы неотрицательны, а этого можно достигнуть, прибавив ко всем элементам матрицы некоторое положительное число.

Преобразуем систему ограничений, разделив все члены неравенств на v.

(1)

где

, . (2)

По условию x1 + x2 + … +xm = 1.

Разделим обе части этого равенства на v.

.

Оптимальная стратегия (x1, x2, ., xm) игрока А должна максимизировать величину v, следовательно, функция

(3)

должна принимать минимальное значение.

Таким образом, получена задача линейного программирования: найти минимум целевой функции (3) при ограничениях (1), причем на переменные наложено условие неотрицательности (2). Решая ее, находим значения , и величину 1/v, затем отыскиваются значения xi = vti.

Аналогично для второго игрока оптимальная стратегия опт должна обеспечить при любых стратегиях первого игрока проигрыш, не превышающий цену игры.

, .

Рассмотрим задачу отыскания оптимальной стратегии игрока B, для которой имеют место ограничения

Преобразуем систему ограничений, разделив все члены неравенств на v.

Похожие статьи:

Обзор Интернет-технологий для обучения английскому языку
Информационные ресурсы сети Интернет содержат текстовый, аудио-и визуальный материал по различной тематике на разных языках. Однако для того, чтобы учащиеся не захлебнулись в изобилии информации разного качества, а наиболее продуктивно использовали её для удовлетворения образовательных и профессион ...

Структура проблемного урока в разных типах организации
1. постановка целей урока, задачи урока, 2. организационный момент: · Рифмованное начало урока. Начало урока с элементами театрализации, с эпиграфа урока, с высказывания выдающихся людей, относящихся к теме урока, с пословицы и поговорки по теме урока. · Начало урока с постановки проблемы: Тема: Ро ...

Виды музыкальной деятельности
Деятельность — это активный процесс овладения общественным опытом, достижениями культуры. На протяжении своей жизни человек осваивает различные виды деятельности, в результате которых у него формируются психические качества и свойства личности. Некоторые из них приобретают особую значимость, протек ...