Сведение матричной игры к задаче линейного программирования

Теория игр находится в тесной связи с линейным программированием, так как каждая конечная игра двух лиц с нулевой суммой может быть представлена как задача линейного программирования и решена симплексным методом и, наоборот, каждая задача линейного программирования может быть представлена как конечная игра двух лиц с нулевой суммой. Рассмотрим игру двух лиц с нулевой суммой, заданную платежной матрицей

.

Если платежная матрица не имеет седловой точки, т.е. a <b и , то решение игры представлено в смешанных стратегиях (x1, x2, ., xm) и (y1, y2, ., yn). Применение первым игроком оптимальной стратегии опт должно обеспечить ему при любых действиях второго игрока выигрыш не меньше цены игры.

, .

Рассмотрим задачу отыскания оптимальной стратегии игрока А, для которой имеют место ограничения

Величина v неизвестна, однако можно считать, что цена игры v > 0. Последнее условие выполняется всегда, если все элементы платежной матрицы неотрицательны, а этого можно достигнуть, прибавив ко всем элементам матрицы некоторое положительное число.

Преобразуем систему ограничений, разделив все члены неравенств на v.

(1)

где

, . (2)

По условию x1 + x2 + … +xm = 1.

Разделим обе части этого равенства на v.

.

Оптимальная стратегия (x1, x2, ., xm) игрока А должна максимизировать величину v, следовательно, функция

(3)

должна принимать минимальное значение.

Таким образом, получена задача линейного программирования: найти минимум целевой функции (3) при ограничениях (1), причем на переменные наложено условие неотрицательности (2). Решая ее, находим значения , и величину 1/v, затем отыскиваются значения xi = vti.

Аналогично для второго игрока оптимальная стратегия опт должна обеспечить при любых стратегиях первого игрока проигрыш, не превышающий цену игры.

, .

Рассмотрим задачу отыскания оптимальной стратегии игрока B, для которой имеют место ограничения

Преобразуем систему ограничений, разделив все члены неравенств на v.

Похожие статьи:

Методическое обеспечение методического процесса
Одним из стержневых условий жизнедеятельности дошкольного учреждения является методическое обеспечение методического процесса. С этого начинается организация методической работы в любом МДОУ. Программно-методический комплекс дошкольного учреждения отбирается с учетом ориентации на государственные т ...

Рекомендации по проведению занятий, направленных на развитие правовой грамотности дошкольников
Проведение занятий с детьмипрежде всего должно быть направлено на вовлечение детей с раннего возраста в процесс формирования их правового (нравственно-правового) сознания. К общим для всех занятий можно отнести следующие образовательные, воспитательные и развивающие цели и задачи: ознакомление дете ...

Основные направления методической системы обучения ООП в условиях информатизации образования
Основные элементы объектно-ориентированного программирования Характерные идеи и методы программирования, и соответствующий образ мышления образуют так называемую парадигму программирования. Между парадигмами и языками программирования высокого уровня существует прямая связь. Для ответа на вопрос, к ...