Сведение матричной игры к задаче линейного программирования

Теория игр находится в тесной связи с линейным программированием, так как каждая конечная игра двух лиц с нулевой суммой может быть представлена как задача линейного программирования и решена симплексным методом и, наоборот, каждая задача линейного программирования может быть представлена как конечная игра двух лиц с нулевой суммой. Рассмотрим игру двух лиц с нулевой суммой, заданную платежной матрицей

.

Если платежная матрица не имеет седловой точки, т.е. a <b и , то решение игры представлено в смешанных стратегиях (x1, x2, ., xm) и (y1, y2, ., yn). Применение первым игроком оптимальной стратегии опт должно обеспечить ему при любых действиях второго игрока выигрыш не меньше цены игры.

, .

Рассмотрим задачу отыскания оптимальной стратегии игрока А, для которой имеют место ограничения

Величина v неизвестна, однако можно считать, что цена игры v > 0. Последнее условие выполняется всегда, если все элементы платежной матрицы неотрицательны, а этого можно достигнуть, прибавив ко всем элементам матрицы некоторое положительное число.

Преобразуем систему ограничений, разделив все члены неравенств на v.

(1)

где

, . (2)

По условию x1 + x2 + … +xm = 1.

Разделим обе части этого равенства на v.

.

Оптимальная стратегия (x1, x2, ., xm) игрока А должна максимизировать величину v, следовательно, функция

(3)

должна принимать минимальное значение.

Таким образом, получена задача линейного программирования: найти минимум целевой функции (3) при ограничениях (1), причем на переменные наложено условие неотрицательности (2). Решая ее, находим значения , и величину 1/v, затем отыскиваются значения xi = vti.

Аналогично для второго игрока оптимальная стратегия опт должна обеспечить при любых стратегиях первого игрока проигрыш, не превышающий цену игры.

, .

Рассмотрим задачу отыскания оптимальной стратегии игрока B, для которой имеют место ограничения

Преобразуем систему ограничений, разделив все члены неравенств на v.

Похожие статьи:

Конспекты сюжетно-ролевых игр
1. Конспект сюжетно-ролевой игры по правилам безопасности движения: «Мы едем, едем, едем». Цель: закрепите правила дорожного движения для пешеходов и научить детей практически их выполнять. Материал к игре: пешеходные дорожки, светофор, сигнальные круги, машина автобус, стулья, музыкальное сопровож ...

Понятие "психологическое неблагополучие" в младшем школьном возрасте
Проблема психологического благополучия и неблагополучия рассматривается в связи с тем, что напряженность либо понижение функциональной активности организма в силу недостаточного развития адаптационных механизмов влечет истощение внутренних резервов человека, а в конечном итоге дезадаптацию, соматич ...

Организационные вопросы подготовки экскурсии
Изучение в классе химических производств должно происходить после того, как учащиеся овладеют химическими знаниями, необходимыми для понимания научных основ данного производства, и сопровождаться использованием различных средств наглядности. Учащиеся сначала должны ознакомиться с составом, свойства ...