Сведение матричной игры к задаче линейного программирования

Теория игр находится в тесной связи с линейным программированием, так как каждая конечная игра двух лиц с нулевой суммой может быть представлена как задача линейного программирования и решена симплексным методом и, наоборот, каждая задача линейного программирования может быть представлена как конечная игра двух лиц с нулевой суммой. Рассмотрим игру двух лиц с нулевой суммой, заданную платежной матрицей

.

Если платежная матрица не имеет седловой точки, т.е. a <b и , то решение игры представлено в смешанных стратегиях (x1, x2, ., xm) и (y1, y2, ., yn). Применение первым игроком оптимальной стратегии опт должно обеспечить ему при любых действиях второго игрока выигрыш не меньше цены игры.

, .

Рассмотрим задачу отыскания оптимальной стратегии игрока А, для которой имеют место ограничения

Величина v неизвестна, однако можно считать, что цена игры v > 0. Последнее условие выполняется всегда, если все элементы платежной матрицы неотрицательны, а этого можно достигнуть, прибавив ко всем элементам матрицы некоторое положительное число.

Преобразуем систему ограничений, разделив все члены неравенств на v.

(1)

где

, . (2)

По условию x1 + x2 + … +xm = 1.

Разделим обе части этого равенства на v.

.

Оптимальная стратегия (x1, x2, ., xm) игрока А должна максимизировать величину v, следовательно, функция

(3)

должна принимать минимальное значение.

Таким образом, получена задача линейного программирования: найти минимум целевой функции (3) при ограничениях (1), причем на переменные наложено условие неотрицательности (2). Решая ее, находим значения , и величину 1/v, затем отыскиваются значения xi = vti.

Аналогично для второго игрока оптимальная стратегия опт должна обеспечить при любых стратегиях первого игрока проигрыш, не превышающий цену игры.

, .

Рассмотрим задачу отыскания оптимальной стратегии игрока B, для которой имеют место ограничения

Преобразуем систему ограничений, разделив все члены неравенств на v.

Похожие статьи:

Специфические нарушения письма – дисграфии
На основании анализа существующих исследований, посвященных данному вопросу, и собственных наблюдений мы предлагаем следующее определение дисграфии. Дисграфией следует называть стойкую неспособность овладеть навыками письма по правилам графикам (то есть руководствуясь фонетическим принципом письма) ...

Понятие культуры поведения детей дошкольного возраста, характеристика ее компонентов через анализ изученной литературы
Культура поведения – соблюдение основных требований и правил человеческого общежития, умение находить правильный тон в общении с окружающими. О важности воспитания культуры поведения у детей и обусловленности ее нормами морали говорил еще В. Белинский: «Не упускайте из вида ни одной стороны воспита ...

Методика работы над пунктуационным правилом
Пунктуационное правило - это особая инструкция, содержащая перечень условий выделения или не выделения знаками препинания пунктуационно смыслового отрезка в предложении или тексте. Условия, заключенные в пунктуационном правиле, отражают постоянную зависимость выбора знака (знаков) препинания от соч ...