Решение игр графическим методом

Педагогика и воспитание » Теория игр » Решение игр графическим методом

Страница 1

Графический метод применим к играм, в которых хотя бы один игрок имеет только две стратегии.

Первый случай. Рассмотрим игру (2 ´ 2) с матрицей

без седловой точки. Решением игры являются смешанные стратегии игроков (x1, x2) и (y1, y2), где x1 - вероятность применения первым игроком первой стратегии, x2 - вероятность применения первым игроком второй стратегии, y1 - вероятность применения вторым игроком первой стратегии, y2 - вероятность применения вторым игроком второй стратегии. Очевидно, что

x1 + x2 = 1, y1 + y2 = 1.

Найдем решение игры графическим методом. На оси ОX отложим отрезок, длина которого равна единице. Левый конец (x = 0) соответствует стратегии первого игрока А1, правый (x = 1) - стратегии А2. Внутренние точки отрезка будут соответствовать смешанным стратегиям (x1, x2) первого игрока, где x1 =1 - x2. Через концы отрезка проведем прямые, перпендикулярные оси ОX, на которых будем откладывать выигрыш при соответствующих чистых стратегиях. Если игрок В применяет стратегию В1, то выигрыш при использовании первым игроком стратегий А1 и А2 составит соответственно а11 и а21. Отложим эти точки на прямых и соединим их отрезком В1В1. Если игрок А применяет смешанную стратегию, то выигрышу соответствует некоторая точка М, лежащая на этом отрезке. (см. рис.1)

В1 а21

М

В1

а11

х2 х11 Х

Рис.1. Подписать рисунок

Аналогично строится отрезок В2В2, соответствующий стратегии В2 игрока В.

Определение 1. Ломаная линия, составленная из частей отрезков, интерпретирующих стратегии игрока В, расположенная ниже всех отрезков, называется нижней границей выигрыша, получаемого игроком А.

Определение 2. Стратегии, части которых образуют нижнюю границу выигрыша, называются активными стратегиями.

В игре (2 ´ 2) обе стратегии являются активными.

В1 а21

В2

а12 К

В2 а22

В1

а11 v

О х2 N х1 1 Х

Рис.2.

Ломаная В1КВ2 является нижней границей выигрыша, получаемого игроком А. (см. рис.2) Точка К, в которой он максимален, определяет цену игры и ее решение. Найдем оптимальную стратегию первого игрока. Запишем систему уравнений

Приравнивая выражения для v из уравнений системы и учитывая, что

x1 + x2 = 1, получим , , (1)

. (2)

Составляя аналогичную систему

и учитывая условие

y1 + y2 = 1,

можно найти оптимальную стратегию игрока В:

. (3)

Пример 1. Найти решение игры, заданной матрицей

.

a = max (1,1) = 1, b = min (3,2) = 2, a ¹ b, . Игра не имеет седловой точки. Оптимальное решение следует искать в области смешанных стратегий. Построим на плоскости отрезки, соответствующие стратегиям второго игрока. (см. рис.3)

Рис.3.

По формулам (1) - (3) находим оптимальные стратегии и цену игры:

x1 = 1/3, x2 = 2/3; y1 = 2/3, y2 = 1/3; v =5/3.

Ответ. Оптимальные смешанные стратегии игроков (1/3, 2/3) и (2/3, 1/3), цена игры составляет v =5/3.

Данный ответ означает следующее:

если первый игрок с вероятностью 1/3 будет применять первую стратегию и с вероятностью 2/3 вторую, то при достаточно большом количестве игр с данной матрицей его выигрыш в среднем составит не менее 5/3;

Страницы: 1 2 3

Похожие статьи:

Укрепление материально-технической и финансовой базы
Годовой план ДОУ должен учитывать все виды ресурсов, их состояние, способы и возможности использования. Приступая к составлению годового плана, руководитель помнит, что этот план будет выполняться всем педагогическим коллективом учреждения. От того, каково понимание каждым сотрудником его роли в ре ...

Принципы методики пунктуации
Пунктуационные нормы определяются как грамматико-синтаксическими особенностями предложения, так и логико-предметными значениями, выражаемыми в предложении. С ними связаны специальные требования к работе по пунктуации в школе, т.е. принципы методики пунктуации: наблюдения над значением, строением и ...

Значение изобразительной деятельности для всестороннего развития дошкольников
Занятия по изобразительной деятельности, кроме выполнения учебных задач, являются важным средством всестороннего развития детей. Обучение рисованию, лепке, аппликации, конструированию способствует умственному, нравственному, эстетическому и физическому воспитанию дошкольников. Значение изобразитель ...

Главное меню

Copyright © 2019 - All Rights Reserved - www.bravoschool.ru